【思考論】計算用紙を黒くするな。「グラフの概形（ビジュアライズ）」で見れば、その問題は1秒で解ける。（Case: 大阪数学C問題）

関数 $y=ax^2$ と $y=bx+1$ について、$x$ の変域が $-2 \leqq x \leqq 1$ のとき、$y$ の変域が一致する。

このとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

「反射的計算」を行う受験生は、こう考える。

「端っこの $x=-2$ と $x=1$ を代入して、連立方程式だ！」

これが地雷である。

2次関数 $y=ax^2$ は、原点を通るため変域の端が単純な代入では決まらない。さらに、1次関数 $y=bx+1$ の傾き $b$ がプラスかマイナスかも不明だ。

結果、場合分けの計算地獄に陥り、解の一つを見落とすことになる。

「箱」を描けば、解は2つ見える

この問題を解くのに必要なのは、計算力ではない。「グラフの箱（フレーム）」を描く力だ。

Step 1：2次関数の「箱」を作る

$x$ が $-2$ から $1$ まで動くとき、$y=ax^2$ ($a>0$) は原点 $0$ をまたぐ。

最小値は必ず $0$。最大値は原点から遠い $x=-2$ のときなので $4a$。

よって、$y$ の変域（箱の高さ）は $0 \leqq y \leqq 4a$ で確定する。

Step 2：直線の「傾き」を2通りイメージする

1次関数 $y=bx+1$ も、この箱（$0 \leqq y \leqq 4a$）に収まらなければならない。

切片は $+1$ で固定されている。ここから「最小値 0」を作るには、グラフはどう伸びるべきか？

ここで脳内に2本の直線を走らせる。

• (i) 右上がりの場合 ($b>0$)$x=-2$ で最小値 $0$ をとるはずだ。$$0 = -2b + 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$$このとき最大値は $x=1$ で $4a$ となるので、$$b(1) + 1 = 4a \Rightarrow \frac{1}{2} + 1 = 4a \Rightarrow a = \frac{3}{8}$$
• (ii) 右下がりの場合 ($b<0$)$x=1$ で最小値 $0$ をとるはずだ。$$0 = b(1) + 1 \Rightarrow b = -1$$このとき最大値は $x=-2$ で $4a$ となるので、$$-2(-1) + 1 = 4a \Rightarrow 3 = 4a \Rightarrow a = \frac{3}{4}$$

計算自体は暗算レベルだ。

しかし、「右上がり」と「右下がり」の2つの可能性が見えていなければ、正解（ $(a, b) = (\frac{3}{8}, \frac{1}{2}), (\frac{3}{4}, -1)$ ）を完答することはできない。

結論：脳を動かしてから、手を動かせ

入試数学において、計算用紙が真っ黒になることは「努力の証」ではない。「効率の悪さの証明」である。

式を見たら、反射的に計算を始めるのをやめろ。

ペンを置き、目を閉じて、その式が描く「放物線の開き具合」や「直線の傾き」を脳内にスクリーンショットとして映し出すのだ。

「概形（ビジュアライズ）」が見えた瞬間、複雑に見えた関数問題は、驚くほど単純な図形問題へと姿を変える。

その快感を知った時、君の数学力は「計算マシーン」から「分析官」のレベルへと進化するだろう。