【愛知県公立入試・数学】確率は「運任せ」ではない。「区別」の論理である。～14年間のデータが示す“カード問題”の攻略OS～

序論：さいころへの依存からの脱却

公立高校入試における「確率」分野に対し、多くの受験生は「2つのさいころ」を条件反射的に想起するだろう。6×6の表を作成し、該当箇所を塗りつぶす牧歌的な作業である。

しかし、愛知県公立入試において、その安易な認識は通用しない。

我々が解析した直近14年間（2012～2025年）の全データにおいて、愛知県は「カード（または玉）の取り出し」を異常なほどに偏愛していることが判明した。

特筆すべきは、単にカードを引かせるのではなく、「同じ数字や文字が書かれたカードが複数枚存在する」という設定を好んで出題する点である。

ここで愛知県が求めている能力は、運や偶然を数え上げる力ではない。

一見して同一に見える対象物を、論理の力で明確に「別物」として識別する「区別化（Distinction）」の能力である。

本稿では、難関校対策の「標準モデル」とも呼びうる、愛知県独自の確率攻略OS（オペレーティング・システム）を提示する。

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【証拠データ】14年間の出題傾向（抜粋）

まずは、愛知県の出題傾向が顕著に表れた年度を抜粋した以下のリストを参照されたい。（※全年度の詳細データは内部データベースに蓄積済みである）

年度	題材	テーマ・条件	求められる処理能力（OS）
2025	カード	Aが3枚、Bが2枚…文字が異なる	個体の識別 ($A_1, A_2…$)
2024	カード	2回連続・和/積/約数/素数	数論処理（多重条件の照合）
2023	カード	1が2枚…3桁の整数作成	樹形図（位取りと重複管理）
2020	カード	約数カードを取り除く操作	アルゴリズム実行（シミュレーション）
2018	玉	赤3個、白2個、青1個…同じ色	個体の識別（2025年の原型）
2017	カード	戻して2回・最も起こりやすい事象	復元抽出（確率の積）
2016	カード	戻して2回・和が6以上	復元抽出（$N \times N$ の分母）
2012	玉	戻して2回・色が異なる	余事象＋個体の識別

ご覧の通り、単純な「さいころ」の出題頻度よりも、「カード・玉」を用いた複雑な設定が支配的であることがデータより明らかである。

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解法アナトミー：愛知モデルを攻略する3つの鉄則

この「カード地獄」とも呼べる出題群を攻略するために必要なのは、高度な計算力ではない。以下の3つの鉄則（プロトコル）を遵守する「規律」である。

1. 「区別化」の徹底（Distinction Protocol）

愛知県の確率における最大の陥穽（かんせい）は、「同じ数字（文字/色）が複数ある」ことだ。

例えば2025年の問題において、「Aと書かれたカードが3枚」存在した。これを単に「A」という1つの種類として扱った瞬間、確率は破綻する。

【攻略OS】

視覚的に同一であっても、物理的に異なる個体には必ず「ID（識別番号）」を付与する。

• Aが3枚 $\rightarrow$ $A_1, A_2, A_3$ と定義する。
• 1が2枚 $\rightarrow$ $1_A, 1_B$ と定義する。

「確率は、すべて異なるものとして数える」。この原則を徹底することで、2018年の「赤玉3個」も、2025年の「Aカード3枚」も、全く同一のアルゴリズムで処理が可能となる。

2. 「復元・非復元」の選定（Operation Check）

愛知県は、カードを引く際の「操作ルール」を年度によって頻繁に切り替える。

• 同時 / 続けて（戻さない）： 分母が減少する（例：$6 \times 5$ や ${}_6C_2$）。
• 戻して（復元抽出）： 分母が変化しない（例：$6 \times 6$）。

問題文の数値に着目する前に、まず「操作のルール（戻すか否か）」にアンダーラインを引くべきである。2017年（戻す）と2025年（同時）の相違を初動で認識できなければ、正答へのルートは閉ざされる。

3. 「数論的性質」との融合（Logic Fusion）

愛知県の確率は、単純な数え上げでは完結しない。「素数」「約数」「平方数」といった数学的性質（数論）をフィルタリング条件として用いる傾向が強い。

• 2024年：和が偶数、互いに素。
• 2018年：積が平方数（$x^2 = ab$）。

これは確率の問題であると同時に、「整数の性質」を問う問題でもある。樹形図を展開する前に、「条件を満たす数字のペア」を論理的にリストアップする工程が不可欠となる。

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結論：愛知こそが「標準モデル」である

愛知県の確率問題を「特殊な難問」と捉えてはならない。

「対象を区別して数える」「条件を論理的に整理する」「操作を正確に実行する」というプロセスは、高校数学（数学A・場合の数と確率）へと直結する「確率の本質」そのものである。

全国どこの受験生であっても、トップ校を目指すならば、愛知県の過去問は避けて通れない「標準モデル」であると断言できる。

【即時実行すべき3つのアクション】

1. 同一カードには、必ず小さく番号（$A_1, A_2…$）を記述せよ。
2. 問題文の「戻す／戻さない」を最優先で確認せよ。
3. 確率計算の前に、「条件に合致する数」をリストアップせよ。

この3点を徹底すれば、確率という名の「区別する論理」は確実に習得できる。運に頼る受験からの脱却を、ここに推奨する。