【技術論】「整数問題」はセンスではない。上位層がやっている「捜査網（ドラグネット）」の張り方（Case: 大阪数学C問題）

3桁の自然数 $a$ と、その百の位と十の位を入れ替えた数 $b$ がある。

$\sqrt{\frac{a-b}{2}}$ が自然数となり、かつ各位の数の和が20となる $a$ をすべて求めよ。

センス頼みの受験生は、ここで「和が20になる3桁の数」を思いつきでリストアップし始める。

「983ならどうだ？」「875は？」……。

これは時間を浪費するだけで、正解に近づく保証がどこにもない。

必要なのは偶然ではなく、必然である。

2. 再現可能なアルゴリズム：3つの鉄則

難関校の整数処理は、次の3ステップに集約される。

1. 【定義】 日本語を「文字式」に翻訳する
2. 【変形】 構造が見える形（因数分解・素因数）にする
3. 【捜査】 変域で絞り込み、候補を確保する

3. 実演（2024）：ドラグネットで“逃げ場”を消す

このアルゴリズム通りに手を動かせば、誰でも自動的に正解へ到達できる。

Step 1：【定義】文字で置く

百の位を $x$、十の位を $y$、一の位を $z$ と置く。

$$a = 100x + 10y + z$$

$$b = 100y + 10x + z$$

これが出発点である。

Step 2：【変形】構造をあぶり出す

まず中身の計算を行う。

$$a – b = 90x – 90y = 90(x – y)$$

よって、問題の式は次のように変形できる。

$$\sqrt{\frac{a-b}{2}} = \sqrt{\frac{90(x-y)}{2}} = \sqrt{45(x-y)} = 3\sqrt{5(x-y)}$$

ここで景色が変わる。これが自然数になるためには、ルートの中身が平方数でなければならない。

$5$ は素数なので、ペアを作るために $5(x-y)$ にはもう一つ $5$ が必要である。

したがって、

$$x – y = 5 \times t^2 \quad (t \text{は自然数})$$

が必要条件となる。

なお、結果が自然数である以上、中身は正の数でなければならないため、$a > b \Rightarrow x > y$（$x-y$ は0ではない）ことも確定する。

Step 3：【捜査】変域で“確保”する

ここから包囲網を狭める。

$x, y$ は1桁の自然数なので、その差は最大でも $9$ ($9-0$) である。

$$1 \leqq x – y \leqq 9$$

候補となる $x – y = 5 \times t^2$ のうち、この範囲に収まるものは？

• $t = 1$ のとき： $x – y = 5$ （OK）
• $t = 2$ のとき： $x – y = 5 \times 4 = 20$ （範囲外・即死）

よって、$x – y = 5$ という事実が確定する。

あとは、もう一つの条件「各位の和が20 ($x + y + z = 20$)」と連立するだけだ。

$x = y + 5$ を代入して、

$$(y+5) + y + z = 20 \Rightarrow 2y + z = 15$$

$y$（十の位）に数字を入れ、$z$（一の位）が1桁（0〜9）になるものを探す。

• $y = 3 \Rightarrow z = 9$ （OK） $\rightarrow x = 8 \Rightarrow a = 839$
• $y = 4 \Rightarrow z = 7$ （OK） $\rightarrow x = 9 \Rightarrow a = 947$
• $y = 5 \Rightarrow z = 5$ （OK?） $\rightarrow x = 10$ （$x$は1桁なので不適）

以上より、答えは 839, 947 の2つに定まる。

ここに、ひらめきの入り込む余地はない。

4. もう一段上げるコツ：「偶数」を式で固定する

もう一つ、頻出パターンを紹介する。

今回の応用として、「平方根が偶数になる」という条件が出題されることもある。

その場合は、「平方根が整数になる条件」で絞り込んだ後、さらに結果を $= 2m$（偶数）と置くことで、係数の因数（2の倍数など）を特定する二段構えの捜査が有効である。

結論：数学は「言語」である

整数問題で起きていることは、計算ではない。翻訳である。

曖昧な日本語条件（3桁、入れ替え、偶数…）を、厳密な数式という言語に翻訳できれば、候補は勝手に狭まり、答えは向こうから歩いてくる。

もしまだ「適当な数字を入れて祈る」運用をしているなら、即座に改めるべきだ。

その姿勢こそが、入試当日における最大のリスク要因なのだから。